EDITORIAL SEMANAL
Sábado, 01 Diciembre de 2018
Palíndromos: buscando capicúas
Esta es una historia para los que en San Luis, como en cualquier otra parte del país, disfrutaban de la expectativa de recibir un boleto capicúa al viajar en colectivo.
Palíndromos: buscando capicúas La historia de disfrutar de la expectativa de recibir un boleto capicúa al viajar en colectivo.

¿Usted sabe lo que es un palíndromo? Recorra esta lista de números con cuidado, buscando un patrón:

121,
1234321,
648846,
52925,
09490,
8199918

Usted ya advirtió que éstos son los números que llamamos, también, capicúas. Los palíndromos son los capicúas.
Acá van algunas curiosidades respecto de los capicúas o palíndromos. Algunas cosas se saben y son fáciles de comprobar. Otras, no sólo no se saben sino que son problemas que hace mucho están abiertos dentro de la matemática.
Si uno empieza con los dígitos, desde el cero en adelante:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

son todos capicúas, porque da lo mismo leerlos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Conclusión: hay diez capicúas de un solo dígito.
Siguiendo, ¿cuántos capicúas hay de dos dígitos? La respuesta es: nueve. Más allá de que yo ponga los números, creo que usted puede intentar solo/a.

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99.

Si ahora pasamos a números de tres dígitos, se nota que no será muy práctico tener que hacer una lista de todos los que hay. Podríamos empezar con:

101, 111, 121, 131, 141, ...

Por el medio estarán

... 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 505, 515, 525...

y para terminar,

... 959, 969, 979, 989 y 999.

Si los cuenta resultan noventa. Como se empieza a ver, tendríamos que buscar una forma de contarlos que no involucre tener que hacer una lista de todos. Tomemos un número de tres dígitos. Obviamente, no puede empezar con el número cero, porque no tendría tres dígitos. Luego, el primero de los números no puede ser cero. ¿Cuántas posibilidades hay? Respuesta: nueve. Un número capicúa de tres dígitos puede empezar con cualquier número, salvo cero. Luego hay nueve posibilidades.
¿Cuántas posibilidades hay para el segundo dígito? Aquí, ahora, no hay restricciones. El segundo puede ser cualquiera de los diez dígitos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es decir (cuéntelos por favor), hay diez que pueden ir en el medio.
Dos preguntas importantes:
a) ¿Entiende usted que como puede empezar con nueve dígitos y el segundo número tiene diez posibilidades, entonces hay 90 posibles comienzos? Es muy importante que usted pueda entender esto que acabo de escribir. No hay problemas si no lo comprende, pero no tiene sentido avanzar sin volver a pensarlo. Lo digo de otra forma. ¿Cuáles son los posibles dos primeros dígitos de este número “capicúa” que al final va a tener tres dígitos? Los números con los que puede empezar son:

10, 11, 12, 13, 14... 97, 98 y 99.

Empezando con uno hay diez, empezando con dos hay otros diez, empezando con tres hay diez... hasta que empezando con nueve hay diez también. En total, entonces, hay noventa formas de empezar.
b) Otra pregunta: si, al final, el número que estamos buscando tiene tres dígitos pero tiene que ser un palíndromo, una vez conocidos los primeros dos ¿no queda determinado el tercero? Es decir, conocer los dos primeros obliga al tercero a ser algo que ya sabemos. El tercero tiene que ser igual al primero.

 

 

Luego, los noventa que habíamos contado, son todos los que hay. ¡Y no necesitamos escribirlos a todos! Alcanzó con pensarlos.
Con esta idea, uno puede ahora preguntarse: ¿cuántos palíndromos de cuatro dígitos? ¿Tendré que hacer yo todas las cuentas? ¿O lo puede hacer usted solo/a? De hecho, si uno piensa un poco, se da cuenta que como ahora uno tiene un número de cuatro dígitos pero palindrómico, entonces los dos primeros determinan a los dos últimos.
¿Entiende por qué? Piense usted solo/a por un instante. Como el número tiene que ser capicúa, y de cuatro cifras, lo que pongamos en los dos primeros lugares determina completamente los dos que faltan.
Es más, si el número empieza con “ab”, entonces los dos que siguen tienen que ser “ba”. El número final va a ser entonces: “abba”. Y como recién vimos que para los dos primeros lugares hay noventa posibilidades, ahora, con números de cuatro dígitos, no cambia nada.
Acabamos de descubrir que hay también noventa capicúas de cuatro dígitos.

a) hay 199 palíndromos menores que 10,000
b) hay 1,099 capicúas menores que 100,000
c) hay 1,999 capicúas menores que un millón
d) hay 10,999 palíndromos menores que diez millones.

Y si tiene ganas, siga usted con el resto. La idea es la misma.


 

                                                                                                                                                                                                                  Adrián Paenza



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