EDITORIAL SEMANAL
Jueves, 30 Junio de 2022
CENSAR A FRANCIA EN 1783
Aprender a calcular a ojo —estimar— también puede ser un arte
CENSAR A FRANCIA EN 1783 Por Adrián Paenza

Primero quiero empezar haciendo referencia a un artículo publicado en esta misma columna en diciembre de 2018: “Peces en Potrero de los Funes” [1]

Uno de los mayores déficits que tienen nuestros sistemas educativos, cuando se habla de matemática al menos, es que no se nos enseña a estimar. Sí. A estimar.

Eso sirve, en principio, para aprender a desarrollar el sentido común. ¿Cuántas manzanas tiene una ciudad? ¿Cuántas hojas puede tener un árbol? ¿Cuántos días vive en promedio una persona? ¿Cuántos ladrillos hacen falta para construir un edificio?

 

Quiero empezar con un problema que es muy específico pero usted verá, si sigue leyendo, que tiene (y tuvo) aplicaciones totalmente inesperadas. Acompáñeme por acá.

Supongamos que uno está en Potrero de los Funes, frente al lago. Es decir, un cuerpo de agua de proporciones razonables. Uno sabe que allí es posible pescar pejerreyes, pero querría estimar cuántos pejerreyes hay. Naturalmente, no quiere decir “contar”. Se trata de poder adquirir una idea de lo que hay. Por ejemplo, uno podría conjeturar que en el lago hay mil peces o que hay mil millones de peces.

Obviamente, no es lo mismo. Pero ¿cómo hacer?

Vamos a intentar juntos una reflexión. Supongamos que uno consigue una red que pide prestada a unos pescadores. Y se pone a pescar hasta conseguir mil pejerreyes. Es importante que cualquier procedimiento que se haga para conseguir los mil peces no los mate, porque habrá que devolverlos al agua vivos.

Lo que se hace inmediatamente que uno los tiene todos es pintarlos de un color que no se borre con el agua o marcarlos de alguna manera. Digamos que, para fijar las ideas, los pintamos de amarillo.

Los devolvemos al agua y esperamos un tiempo razonable, en donde “razonable” significa que les damos tiempo para que vuelvan a mezclarse con la población que habitaba la laguna.

Una vez que estamos seguros volvemos a sacar, con el mismo método, otra vez mil peces. Claro, algunos de los peces que obtenemos ahora estarán pintados y otros, no. Supongamos, siempre a los efectos de hacer las cuentas más fáciles, que entre los mil que acabamos de pescar ahora, aparecen sólo diez pintados de amarillo.

Esto quiere decir que diez entre mil es la proporción de peces pintados que hay en la laguna. (No avance, si no comprende este argumento. Si entendió, siga en el párrafo siguiente. Si no, piense conmigo. Lo que hicimos después de pintarlos es tirar los mil peces a la laguna y darles tiempo a que se mezclaran con los que había antes. Cuando volvemos a sacar nuevamente mil peces es porque ya les dimos tiempo para que se mezclaran todos y que no haya diferencia entre los que pintamos antes y los que quedaron en el agua.)

Como quedó claro, cuando volvemos a extraer los mil peces y vemos que hay diez pintados de amarillo, esto quiere decir que diez de cada mil de los que hay en la laguna están pintados. Si bien nosotros no sabemos cuántos peces hay, lo que sí sabemos es cuántos peces pintados hay. Sabemos que son mil. Entonces, si de cada mil hay diez pintados (o sea, uno de cada cien), y en la laguna sabemos que hay mil pintados, y que los pintados representan el uno por ciento del total de peces, entonces eso significa que el uno por ciento de los peces que hay en la laguna es mil. Por lo tanto, en la laguna tiene que haber cien mil peces.

Este método obviamente no exacto, provee una estimación, no una certeza. Pero, ante la imposibilidad de contar todos los peces que hay, es preferible tener una idea. Y esto es hacer matemática también.

 

Ahora bien: ¿por qué incluí esta forma de estimar que incluso parece tan primitiva? Es que este método, aunque parezca poco creíble, fue utilizado por uno de los mejores matemáticos de la historia: Pierre-Simon Laplace [2]. Las contribuciones de Laplace son (fueron) realmente extraordinarias, no solo en matemática, en particular en el área de probabilidades y la popularización del famoso teorema de Bayes, pero también en astronomía, física y aplicaciones que parecían imposibles en el momento que él las propuso. Pero quiero aprovechar el ejemplo anterior, el de la estimación de cuántos peces hay una laguna, para mostrar lo que hizo Laplace para estimar… ¡la población de Francia en 1783! Obviamente, el método que usamos hoy (censar), era impracticable en ese momento del siglo XVIII. El método que describí más arriba es el que se llama “Captura-Recaptura”. Es muy sencillo, pero requiere que las muestras sean lo suficientemente grandes y elegidas al azar (que es un dato no menor). Es decir, importa ‘mucho’ el tamaño de la muestra y la aleatoriedad. En ese caso, los resultados que se obtienen son verdaderamente notables.

 

En el caso de la población de Francia, fue necesario tomar dos conjuntos de personas, una después de la otra, pero teniendo cuidado de ‘marcar’ los integrantes de la primera muestra de manera tal de que sean fácilmente reconocibles o distinguibles dentro del grupo que termine integrando la segunda muestra. Por otro lado, usado de esta forma tan sencilla, es necesario suponer que la población que uno quiere estimar no se modificará sustancialmente en el tiempo que transcurra entre la toma de la primera y la segunda muestra. Por otro lado, aunque no lo haya escrito explícitamente, es imprescindible que las personas elegidas tengan la misma probabilidad de ser seleccionadas en cualquiera de las dos muestras.

 

Lo que hizo Laplace fue lo siguiente. ¿Cómo elegir y después marcar las personas que formarían parte de la primera muestra? En ese momento en Francia, si bien no existían los censos, cada comunidad/pueblo registraba el número de bebés que nacían cada año. Justamente ellos (los bebés) fueron los integrantes de la primera muestra. Para mejorar la precisión, Laplace promedió el número de nacimientos que se produjeron en Francia durante los dos años que precedieron a la publicación, el año 1783. El dato que utilizó fue el siguiente: 973.054,5 bebés. Sí, aunque parezca ridículo, a los efectos de hacer las cuentas con la mayor precisión posible, el medio bebé lo incluyó porque eso fue lo que le dio el promedio. Para poder encontrar la población total necesitaba estimar la proporción que había entre los bebés recién nacidos y la población en general, y esa proporción es la que daría origen a la segunda muestra que necesitaba.

 

Si bien no todas las comunidades o poblaciones tenían los datos que él necesitaba, había “intendentes” (por llamarlos de alguna manera) que no solo registraban las poblaciones de cada uno de sus ‘condados’, sino que también anotaban los nacimientos y las muertes que se habían producido en ese año particular. ¡Y ese era el dato que Laplace necesitaba! Esa era la proporción que estaba buscando. Con la colaboración de varias personas, logró juntar los datos de todas esas comunidades. Promedió las proporciones entre la población total y los nacimientos tratando de minimizar los errores que se pudieran producir. No los eliminaba, ciertamente, pero los optimizaba, teniendo en cuenta que diferentes regiones producían números que no parecían ‘aceptables’, algunos incluso de un año a otro. Pero lo que me importa señalar acá, es que el número al que llegó Laplace fue el siguiente: ¡un nacimiento por cada 26 personas! En consecuencia, una población con 52 personas tendría (en promedio) dos nacimientos por año, y una de comunidad de 104 personas, tendría cuatro nacimientos anuales. Creo que la idea está clara.

 

A partir de acá, Laplace tuvo que aceptar la misma suposición que hicimos más arriba en el caso de los peces en la laguna, y es que la población no cambiaría sustancialmente entre la extracción de la primera y la segunda muestra, asumiendo que los nacimientos y muertes serían equivalentes, y lo mismo con respecto a las proporciones. Y algo más que tuvo que aceptar o incluir entre sus hipótesis (y ciertamente esto ya no es ni era verificable): que los números de nacimientos y muertes se mantendrían constantes a lo largo de las diferentes regiones francesas. Claramente, de todas las suposiciones que tuvo que hacer, esta fue la más ‘opinable’ y de difícil comprobación, pero necesitó usarla porque si no, no hubiera podido llegar a ninguna conclusión.

 

A partir de acá, el resto resulta sencillo. Le alcanzó con multiplicar 973.045,5 por 26 y eso le dio el tamaño de la población que estaba buscando. El número al que llegó: 25.299.417 habitantes.

 

No crea que se me escapa que hay múltiples ‘concesiones’ y acuerdos que Laplace tuvo que hacer en el transcurso de la estimación, pero lo mismo sucede en el caso de los peces en la laguna. Claramente, uno podría usar este método de ‘captura-recaptura’ para estimar el número de ballenas en una determinada región o evaluar el número de palomas en la ciudad de Montevideo en Uruguay o Paraná en la Argentina, por poner dos ejemplos cualesquiera. Pero también, usando esta misma metodología uno podría determinar el número de personas que consumen algún tipo de droga (cocaína, por ejemplo), o personas diabéticas en un determinado país.

 

Los métodos que se usan hoy son mucho más sofisticados y las estimaciones son mucho más eficientes, pero conceptualmente, todas se basan en las ideas expuestas más arriba. Y en definitiva, el problema reside en la recolección de los datos y no en la sofisticación de la matemática necesaria. Aprender a usar una ‘regla de tres simple’ o ‘extrapolar linealmente’ no deja de ser algo que uno aprende en la escuela primaria, ¿no es así?

 

 

 

[1] “Peces en Potrero de los Funes” La primera parte del texto que figura acá, apareció con ese nombre en esta misma columna el 8 de diciembre de 2018.  http://noticias.ulp.edu.ar/ciencia/peces-en-potrero-de-los-funes-2811

[2] Las ideas (y datos) que aparecen sobre la aplicación de esta metodología usada por Jean Pierre Fermat, le pertenecen a Jaume Amorós, y fue publicado en un artículo de la Royal StatisticalSociety, el 16 de julio del 2014:

https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1740-9713.2014.00754.x



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