Con todo, ese tipo de problemas suelen ser muy útiles por cuanto enseñan y abren caminos que uno no sabía que existían. Le propongo entonces que me acompañe en esta aventura que es el pensar.
Fíjese en el siguiente tablero
Y en este otro
El objetivo es ir intercambiando las filas y columnas del primer tablero hasta llegar al segundo. ¿Se podrá? Es decir, lo que está permitido es tomar cualquier par de filas (o columnas) del primer tablero e intercambiarlas de lugar. Eso dará lugar a un nuevo “tablero”. Desde allí, usted puede volver a intercambiar dos filas o ahora intercambiar dos columnas cualesquiera. La idea es tratar de encontrar (si existe) un camino que transforme el primer tablero en el segundo. No está claro que se pueda y en eso consiste el problema para pensar.
Si se puede, muestre un camino que lleve de uno a otro.
Si no se puede, dé un argumento que lo explique.
Respuesta
Pensemos juntos qué sucede cuando uno se dispone a usar las operaciones permitidas. Es decir, se permiten intercambiar filas con filas y columnas con columnas.
Tomemos la fila 1 del primer tablero, e intercambiémosla con la tercera (sólo por poner un ejemplo). Los cuatro números que figuran en la primera fila (1, 2, 3 y 4) ahora quedan ubicados en la tercera fila, mientras que simétricamente, los de la tercera (9, 10, 11 y 12) pasaron a ocupar la primera fila. El tablero queda ahora así:
Si, por otro lado, ahora permutáramos la segunda y la tercera columna, el tablero aparecería así:
Estos dos movimientos, que parecen irrelevantes, dan toda la información que uno necesita.
Fíjese en los números que figuran en las filas y en las columnas del último tablero y compárelos con los que figuran en el tablero inicial. ¿Qué deduce?
Lo que se deduce es que los números de cada fila y de cada columna son los mismos. Alteraron su posición, sí, pero siguen siendo los mismos. Por lo tanto, uno puede conjeturar que las permutaciones de filas con filas y columnas con columnas no alteran los números que figuran en cada una de ellas.
Con este dato nuevo, ahora le pido que se fije nuevamente en el problema original y compare los dos primeros tableros. ¿Le parece que se puede llegar de uno a otro?
La respuesta es que no se puede, porque en el segundo tablero (por ejemplo) el número 7 perdió a sus compañeros de fila. En el tablero inicial, son 5, 6 y 8. En el segundo, son 13, 14 y 16. ¡y esto no pudo haber pasado con los movimientos permitidos!
Por lo tanto, la respuesta es que no se puede pasar de uno a otro, porque con los movimientos permitidos esa configuración es inalcanzable.
Claro, uno podría haber intentado a mano, tratando de ver si se puede o no. Es difícil probar con todas las posibles combinaciones hasta concluir que ninguna lleva a destino. En cambio, una vez que uno detectó que los compañeros de filas y columnas permanecen invariantes por las permutaciones permitidas descubre casi en forma inmediata que la respuesta es negativa: no se puede.
Y justamente eso es hacer matemática, hacer visible lo invisible, modelar y avanzar en direcciones que parecen ocultas, pero la única forma de lograrlo es, como decía más arriba, arremangándose y ensuciándose las manos: la satisfacción llega después.