EDITORIAL SEMANAL
Domingo, 21 Abril de 2019
¿Quién mira a quién?
Peter Winkler es un matemático norteamericano nacido en 1946. Es uno de los especialistas más importantes del mundo en matemática recreativa.
¿Quién mira a quién? Editorial Semanal de Adrián Paenza.
El problema que voy a presentar más abajo es entretenido y sencillo. No es la versión original que presenta Winkler, sino una adaptación mía, pero los cambios son irrelevantes. Acá va: “Un número impar de alumnos de una escuela están distribuidos en el patio en el momento de un recreo. Sin embargo, la distribución no es cualquiera: todas las distancias entre pares de estudiantes son números distintos. Es decir, si por ejemplo hay dos niños que están a un metro de distancia, no puede haber ningún otro par que también estén a un metro exactamente. La maestra les pide a todos que concentren la vista en el compañero que tengan más cerca. El problema consiste en demostrar que tiene que haber al menos un estudiante al que no lo mira nadie”. El número de estudiantes involucrados es un número impar cualquiera. A los efectos de hacer más visible el razonamiento, voy a suponer que hay 11 (once) alumnos, pero el argumento funciona exactamente igual para cualquier número impar. La primera cosa que quiero hacer es mostrarle que si hay dos alumnos (o más) que están mirando al mismo, entonces el problema está resuelto (¿quiere pensarlo usted por su cuenta?). Es que si hay dos alumnos mirando al mismo, eso quiere decir que hay nueve de los once que no sabemos a quién miran. Pero como quedan diez (de los once) por ser “mirados”, entonces, hay nueve que tendrían que mirar a diez. Esto es imposible. Luego, al menos uno de los alumnos no es observado por nadie. Y eso es lo que queríamos demostrar. Moraleja 1: si hay dos (o más) niños mirando al mismo, entonces el problema está resuelto. En lo que sigue entonces, voy a suponer que todos los niños están mirando a un solo compañero. Y aun así, voy a tratar de convencerla/lo de que hay un niño que no es mirado por nadie. Veamos. Entre todas las posibles distancias que hay entre los chicos, tiene que haber alguna que sea la menor (ya que son todas distintas). Esos dos niños se tienen que estar mirando entre sí (ya que no puede haber ningún otro niño más cerca). Pero no sólo eso: no hay ninguno más mirándolos, porque si no tendríamos el problema resuelto por lo que vimos más arriba. Acá es donde interviene un típico argumento matemático: puedo retirar de mi análisis a estos dos niños ya que entre ellos no está el que estoy buscando (el que no es mirado por nadie). Hago de cuenta entonces que estos dos niños no están en el patio. Ahora me quedo con nueve (de los 11 iniciales), y repito el procedimiento. Entre estos nueve que quedaron, hay dos que están separados por la menor distancia. Y como en el caso anterior, los puedo retirar porque ninguno de los dos es el candidato que busco (“niño no mirado por nadie”). Ahora tengo siete. Y sigo con la misma idea. En algún momento, quedarán cinco, después tres... y finalmente, uno solo. Justamente, este último niño es el que estoy buscando. El es quien no está siendo mirado por nadie. Moraleja 2: la solución de este problema utiliza herramientas “típicas” de la matemática que no son popularmente conocidas (pero debieran). Ir retirando los estudiantes de a dos (y argumentando las razones que permiten hacerlo) hasta llegar al final, muestra el poder de este proceso. Moraleja 3: haber evaluado el caso de 11 alumnos en lugar del caso general con un número impar, lo único que hizo es tomar un caso particular que sugiere lo que hay que hacer en el caso general. Lo único que importa es que sea un número impar de estudiantes, porque al ir retirando de a dos, en algún momento el proceso va a terminar con un solo alumno que no es “mirado” por ningún compañero. Es obvio que la matemática recreativa no es toda la matemática (ni mucho menos). Pero también es cierto que alguien que va a empezar en su vida aprendiendo cómo usar herramientas tan poderosas como las que se utilizan en este problema necesita que lo ayuden a disfrutar de lo que está haciendo. Por eso, aprender jugando no es una mala idea.


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